[문과생 공학수학] 스튜어트 미적분학 1.2 함수

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<1.2-1>

필수함수
1. 수학적 모델링 (1차함수)
2. 다항함수, 유리함수
3. 삼각함수, 지수함수, 로그함수
4. 함수 변화
5. 함수 결합

1. 수학적모델링
실제상황을 함수로 이해하기 (ex 인구가 증가한다면 우상향함수겠쥐)
=> 목적 : 현상이해 → 나아가 예상하기

실생활 문제 → 수학적 식으로 바꿔 모델링 → 풀어서 수학적 결론 → 다시 실생활로 가져가 예상하기
→ 잘맞는지 확인(feedback)
완전히 동일하게 예측은 어렵겠쥐 최대한 근사한것이 목표

1. 1차함수 사용하는 경우
y=mx + b

<1.2-2>

2. 다항식

an의 계수(coefficients), 젤 큰 차수가 해당 식의 degree

1차 : linear fuction
2차 : quadratic fuction
3차 : cubic fuction

power fuction : x^a
1.  a : n : 양의 정수인경우
             우,기함수 모두 가넝
2.  a : 1/n : 루트
             n=2면 양의 정수범위만 정의 (n이 짝수면 n=2랑 유사)

            n=3이면 음의 범위도 정의가넝 (n이 홀수면 n=3인거랑 유사)

n이 커지면 다음과 같은 경향

3.  a : -1 (y= 1/x)

 

2. 유리함수(rational fuction)

함수에서 정수는 다항식, 이때 Q(X)가 0이 아닐때만

 

예제)

분모가 0이면 안되니까 x=±2 불가!

차수가 모두 짝수니까(우함수) 그래프 그리면 아래와 같이 대칭

<1.2-3>

3. 삼각함수
sin, cos, tan 함수..
y=sin x

 

y=cos x : y절편 1

 

sin,cos 정의

 

sin, cos 성질

둘다 -1~1 사이값을 갖는다 (= 절대값이 ≤ 1)

sin x=0이면 x=n𝝅

둘다 x값에 2𝝅씩 더해도 같은값(=주기가 2𝝅)

 

tan함수

분모인 cos x=0일때 tan함수 정의x (=x가 ±𝝅/2, ±3𝝅/2..)

주기 : 𝝅 (그러니까 위와 마찬가지로 tan (x+𝝅)=tan x)

 

3. 지수함수
y=a^x (a는 양의 상수)

3. 로그함수
(1,0)을 지남

 

<1.2-4>

4. 함수변환
함수 위치 바꾸기(shift)
=> vertical(위아래로), horizontal(오른왼쪽)

y-c = f(x)       // c만큼 위로 올리기 (y축에서 움직)
y+c = f(x)      //c만큼 아래로 올리기
y = f(x-c)       //c만큼 오른쪽으로 (x축에서 움직)
y = f(x+c)      //c만큼 왼쪽으로

함수 늘리거나 줄이기(streching)
y=c * f(x)       //위 아래로 커져~
y=1/c * f(x)    //위 아래로 작아져~

y = f(cx)       //c만큼 x축 좁아짐
y = f(x/c)     //c만 x축 늘어짐

-y = f(x)       //x축 대칭
y = f(-x)       //y축 대칭

 

 

<1.2-5>

5. 함수합성
(f+g)(x) = f(x) + g(x)           //domain(정의역) f(x)∩g(x)
(f-g)(x) = f(x) - g(x)            //domain(정의역) f(x)∩g(x)

(fg)(x) = f(x)g(x)                //domain(정의역) f(x)∩g(x)
(f/g)(x) = f(x) / g(x)            //domain(정의역) f(x)∩g(x) 인데 g(x)≠0

 

 

합성함수
h(x)=f∘g==f(g(x))

 

예제) 합성함수의 정의역 확인

  

(a) f(g(x)) : 4 제곱근 내부가 0보다 클때가 정의역 (위 루트함수 참고)

  

(b) g(f(x)) :  √x가 정의되도록 → 2-√x가 잘 정의되도록

(c) f(f(x)) : 4제곱근이 정의되어야함 → [0, ∞) (무한대는 닫힐 수가없음)

(d) g(g(x)) : 2-x가 0보다 커야함 → 2-√2-x가 0보다 커야함

  

3개, 4개 함수도 합성가능하다

f∘g∘h(x) : 항상 뒤에서부터 합성

 

 

 

 

 

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