[문과생 공학수학] 스튜어트 미적분학 1.5 연속성

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<1.5-1>

연속성(Continuity)
1. 연속성 정의
2. 추가 정의, 연속성 성질
3. 합성함수 연속성
4. 중간값 정리

1. 연속성 정의
직접대입법으로 극한값 구할 수 있는게 좋은 함수
=> 직접대입법 관련 정의가 연속성

연속하는 함수는 아래와 같음

3가지 만족하면 함수가 연속
1. f(a)가 정의되어야함
2. lim f(x) 존재해야함
3. lim = f(a) 같아야함

불연속 : 갑자기 함수그래프 끊기는거(점프하는거)

예제2) 유리함수는 예외 제외하고 다 연속(예외=분모가 0일때)

(a) x=2일 때 따로 정의X → x=2일때 불연속
(b) x=0일 때 무한대로 감 → 극한이 존재하지않음
(c) 약분해서 x=2값을 찾음, 
    근데 f(2)값이랑 좌,우극한 값이 달라 연속은 아님
(d) 가우스(같거나 작은 최대 정수)    [-1.2]=-2
    * ceiling 함수 ⌈3.14⌉=4 : (올림) 크거나 같은 정수 중 최소값
    * floor 함수 ⌊3.14⌋ = 3 : (내림) 작거나 같은 정수 중 최대값

순서대로 (a)~(d) 그래프, 예상한 것과 일치하는지 확인

(a), (c)는 함수값 f(a) 값을 잘 정의해주면 연속 가능(removable)
(b) 무한대로 가는 불연속
(d) jump 불연속

 

 

2. 연속성 추가정의, 연속성 성질
단방향 연속성 (좌, 우)
lim a+ = f(a) 면 : 우연속 (반대는 좌연속)

구간에서 연속 : f가 어떤 구간[1,3] 에서 연속이다

f,g가 a에서 연속이고 c는 정수라면
~~이것들 다 a에서 연속
5. 분모 0 아니라고 정의해둠

corollary(따름 정리) (따라오는 정리)
다항함수는 모든구간에서 연속
유리함수는 분모가 0인거 제외하면 모두 연속

루트함수
삼각함수
==> 대입법으로 극한 구할수있으니까 domain 잘 정의되면 연속

예제6)
(a) 다항함수 : R전체에서 연속
(b) 분모0인 (x+-1 제외하고) 3개 구간에서 연속
(c) 각각 함수 domain 정의되어야함
f는 0보다 클때
g는 x != 1 일때
h는 문제되는거 없음(분모가 항상 0보다큼)
=> f,g 합쳐서 domain 결정