[문과생 공학수학] 스튜어트 미적분학 1.4 극한 계산하기

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<1.4-1>

극한 계산하기
1. 교체로 극한 계산하기
2. 삼각함수에 1번 적용해보기
3. 좌우극한 이용해 극한 계산하기
4. 샌드위치 정리

 

1. 교체로 극한 계산하기
극한 법칙(Limit Laws)

조건 : c는 상수이고,  f(x), g(x) 극한 존재한다.

  

그럼 아래 식들이 성립함 (5번 분모 극한 0이 아니다! 주의)

1. sum law
2. difference law
3. constant multiple law
4. product law
5. quotient law
6. 은 4번 곱하기를 반복한거

    => lim[ f(x) ... (f(x) ] = limf(x) * lim[ f(x) ... (f(x) ] 

 

기본법칙

7. 상수는 그냥 상수
8. x함수는 당연히 극한값 a
9. 6번 8번 이용, 그냥 x자리에 a대입한다..
10, 11도 9번과 마찬가지

 

 

 

1~11번을 어떻게 증명하나
=> 사실 이것들은 극한의 정확한 정의에서 얻을 수 있는 법칙들임

 

goal : 조건: 0< |x-a| < 델타
        모든 입실론에 대해 위 조건을 만족시키는 델타가 있으면
        → |f(x) + g(x) -(L1+L2)| < 입실론 를 만족한다.

1. 모든 입실론에 대해 어떤 델타 존재해서 0< |x-a| < 델타 사이면
    →  |f(x) - L1| < 입실론
2. 모든 입실론에 대해 어떤 델타 존재해서 0< |x-a| < 델타 사이면
    →  |g(x) - L1| < 입실론 
=> 1,2를 이용해서 goal 증명하기

goal 생각해보면 위와 같이 찢을 수 있음, ㅡ> 2입실론
=> 입실론으로 바꾸고 싶으니까 앞의 1,2의 입실론을 1/2입실론으로 교체
     (입실론은 아무렇게나 정할수 있는 수니까 앞선 식들을 1/2입실론으로 바꿔도 ㄱㅊ)
     (델타는 1,2번 델타가 다를 수 있으니 따로 잡고 goal의 델타는 델타1,2의 최소값으로)

 

예제)

위에서 배운 법칙 이용해서 해결가넝

사실 다항함수, 유리함수(분모 0 아님)는 x에 값 직접대입하면 바로 나옴

 

 

 

<1.4-3>

2. 삼각함수 극한
삼각함수도 직접대입 가넝

  

반지름이 1인 원 그릴때 P(x, y) = P(cos, sin)
ex) 세타가 0으로 가면 cos은 1로, sin은 0으로 근접(그래프로도 확인가능)

  

 

0/0꼴

0/0꼴은 직접대입 불가

=> 분자가 더 빨리 0되면 0일수도, 
     분모가 더 빨리 0이면 무한대일수도
     그 사이 어디면 상수일수도...

 

==> 분자, 분모를 0으로 만드는 무언가를 찾자
       여기서 분모는 t^2이니까 분자에서도 t^2을 찾는걸로

 

삼각함수 0/0꼴 암기하기

  

예제)

cos세타가 0으로 가면 1에 근사하니까 0/0꼴임
=> 분모의 경우 세타가 원인
=> 분자는 잘 안보이는데 위에서 sin세타/세타=1인거 아니까 그걸 유도
      (sin^2 + cos^2=1을 이용)

 

  

 

3. 한방향 극한 이용해서 계산하기

f(x)의 극한값은 좌,우극한이 존재하고, 같을때 성립한다 (필요충분조건)

 

=> 증명해보기

     (입실론은 아무거나 설정가능하지만 델타는 극한에 따라 정해지니까 번호 붙임..)

 

1번이 참일때→ 2,3은?

2번 증명 : 모든 입실론에 대해 델타2가 존재함 
             → 2번 범위 성립하는지 확인할때, 1번이 참이니까 1번 범위 이용가능
             => 델타2를 델타1으로 잡으면 성립!
3번은 2번과 동일

 

2,3번이 참일때→1번은?
1번 증명 : 범위 확인할 때 2,3번 범위 2개 사용하는데,

              2,3번 각각의 범위보다 1번 범위가 넓음, 경우를 나눠서 비교
             → 두 경우 모두 만족하려면 델타1이 델타2,3 중 작은것과 같으면 된다

 

 

a 근처에서 f(x) ≤ g(x) 이면, a에 대한 극한 lim f(x) ≤ lim g(x)

증명 : f(x) - g(x) ≤ 0  ==> lim f(x) - lim g(x) ≤ 0
        => f(x) - g(x)를 h(x)로 두고, 극한값을 L로 두면 입실론과 델타를 사용한 증명으로 증명가능 

4. squeeze theorem(샌드위치 정리)

a 근처에서 f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) 이고,  lim f(x) = lim h(x) = L 이면

==>  lim g(x)=L이다.

=> 앞선 증명에서 유추가능 (g(x)의 극한값은 f(x), h(x) 사이에 있어야하는데 f(x)랑 h(x) 극한값이 같음)

 

예제)

sin 1/x 는 0으로 가까이 갈수록 빠르게 1과 -1에서 움직임
=> 그래서 직접대입 불가(lim sin 1/x의 좌,우 극한 존재안하니까)

정리하면 sin 1/x는 -1 ≤ sin 1/x ≤ 1

=> 구하려는 식은 -x^2 ≤ x^2 * sin 1/x ≤ x^2

 

그래프로 표현하면 좌,우측 모두 x=0에서 0으로 수렴하는 그래프 나옴
===> 좌,우(lim ±x^2)가 0으로 수렴하니까 중간에 낀값도 0으로 수렴한다

 

 

 

 

 

 

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