[문과생 공학수학] 스튜어트 미적분학 1.3 함수의 극한

도움되셨다면 공감♥, 댓글 부탁드려요!

 

<1.3-1>

개요
1. 극한의 직관적 정의
2. 좌극한, 우극한
3. 극한의 정확한 정의

1. 극한의 직관적 정의

x가 a로 다가갈때 f(x)의 값이 L에 다가감.

이때 f(x)는 a 부근(near)에서 x가 정의되어야함. 
=> 부근 : a를 포함하는 열린집합, a는 빠져도 가넝

직관적정의 예제)

x=1일때 분모 0이니까 값이 정의되지 않음

=> 1- , 1+에서 확인해보면 0.5로 근사한다고 추측(0.5인지 0.500001인지 모르니까 추측임)

 

직관적정의 예제2)

x=0일때 분모 0이니까 값이 정의되지 않음
0-, 0+ 인것 확인해보면 1로 추측가능

 

직관적정의 예제3)

0-는 0이고
0+는 1이니까 이때는 극한 존재하지않음.

 

 

<1.3-2>

2. 좌극한 우극한
위의 예제 3의 경우 좌,우극한 나눠서 보면 극한값 구하기 가넝

0- : 좌극한(left-hand limit)
0+ : 우극한(right-hand limit)

 

 

극한 vs. 좌우 극한
극한이 존재하려면 좌,우극한이 존재하고 둘이 같아야함

 

예제)

(a) 3

(b) 1      ==> (c) 좌우극한 있지만 값이 다르니 (c)는 값 없음

(d) 2

(e) 2      ==> (f) 좌우극한 존재하고 값이 같으니 (e)는 2 (x=5의 값은 중요하지않다!)

 

 

<1.3-3>

3. 극한의 정확한 정의
직관적 정의 : x가 a로 가까이 감에 따라 f(x)가 L값에 다가감 (x=a는 고려x)

입실론(양수), 델타 
x, a의 거리가 델타보다 작으면, f(x)-L의 거리가 입실론보다 작다

 

f(x) 그래프에서 L값 주변에 입실론 차이나는 범위 잡음 (입실론은 임의로 잡음)
=> a값 주변 델파범위가 입실론 범위에 포함되면
    → 입실론에 대해 델타 잘 잡은거
==> 입실론 더 작게 잡음→ 범위가 적으니 델타도 더 작게 잡음
===> 모든 입실론에 대해 델타 잡기가넝하면 극한 존재

 

(델타 먼저 잡고 입실론을 잡는건X 모든 함수에서 가넝)

예를 들어 위 예제에서 입실론을 먼저 1로 잡는다하면 델타값을 잡을 수 없음

 

델타를 먼저 잡고 입실론을 잡으려고 하면 저렇게 넓게 잡아서 값을 구할 수가 있음

 

 

예제)

입실론을 정하고 ㅡ> |f(x)-L값| < 입실론 을 만족하는 델타 존재하냐?
ㅡ> 이때 델타는 |x-3| < 델타

|f(x)-L값| 정리하면 
|(4x-5) -7| = |4x-12| = 4|x-3| < 입실론
여기서 델타 조건 사용하면
4|x-3| < 4델타 = 입실론
델타 = 입실론/4

 

 

 

 

 

youtu.be/pcVg9yC75aY